교차분석

3. 교차분석(Cross Tabulation Analysis)

교차분석은 두 개 이상의 범주형 변수(categorical variables)간의 관계를 탐색하기 위한 분석 기법입니다. 각 범주 조합에 대한 빈도(frequency)를 테이블 형태로 정리하여, 변수 간의 연관성(association) 또는 독립성(independence)을 시각적으로 확인하고, 필요 시 카이제곱 검정(χ² test)을 사용해 통계적으로 감정합니다.

사용 목적 및 검정 유형

교차분석표(Crosstab Table)

두 개 이상의 범주형 변수 간의 조합별 빈도수(frequency)를 행렬 형태로 나타낸 표입니다. 이는 독립성 검정(카이제곱 검정)이나 연관성 분석의 기초 데이터 구조로 사용됩니다.

지역별 전자제품 브랜드 선호도 | | A사 | B사 | C사 | 계 | | - | — | — | — | — | | 한국 | 30 | 55 | 15 | 100 | | 미국 | 40 | 60 | 20 | 120 | | 유럽 | 40 | 35 | 15 | 90 | | 계 | 110 | 150 | 50 | 300 |

이 교차표를 통해 지역별 선호 브랜드 경향의 차이를 시각적으로 파악할 수 있으며, 카이제곱 독립성 검정을 통해 ‘지역’과 ‘브랜드 선호도’가 독립적인 변수인지 아닌지를 검정할 수 있습니다.

적합도 검정(Goodness-of-Fit Test)

적합도 검정은 실제 데이터(관측도수)가 특정한 이론적 분포 또는 기대 분포(예: 균등분포, 정규분포 등)와 얼마나 잘 부합하는지를 검정하는 방법입니다. 이는 모집단에 대한 가설(예: 브랜드 선호가 균등하게 분포할 것이다)이 실제 데이터에 적절한지 여부를 판단하는 데 사용됩니다. 실험 결과 관측도수가 기대도수와 일치하면 실제 분포와 예측 분포 간에는 차이가 없다고 불 수 있습니다.

용어	의미
관측도수(Observed Frequency)	실제 데이터로 측정된 값
기대도수(Expected Frequency)	이론적 분포나 가설에 따라 기대되는 값
카이제곱 통계량(chi-squared Statistic)	관측값과 기대값 사이의 차이를 수치화한 값

검정 통계량

$$ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$

$O_i$: i번째 범주의 관측도수 (Observed)
$E_i$: i번째 범주의 기대도수 (Expected)
모든 범주에 대해 차이의 제곱을 기대도수로 나누어 합산

해석 방법

χ² 통계량이 클수록 관측값과 기대값 간의 차이가 큼 -> 가설이 부적절할 가능성 증가
p-value < 0.05 -> 기대 분포와 관측 분포 간에 통계적으로 유의한 차이 있음 -> 귀무가설 기각
p-value ≥ 0.05 -> 기대 분포와 관측 분포 간의 차이가 통계적으로 유의하지 않음 -> 귀무가설 유지 m

# 귀무가설(H₀): 세 브랜드는 동일하게 선호된다 (균등 분포 1:1:1)
# 대립가설(H₁): 세 브랜드 중 선호에 차이가 있다.

# 관측도수 입력 
observed <- c(25, 40, 35)

# 기대도수 생성 (총합은 자동 계산됨) 
expected <- rep(100 / 3, 3) # 균등 분포 가정

# 적합도 검정 수행
result <- chisq.test(x = observed, p = c(1/3, 1/3, 1/3))

# 결과 출력
print(result)

	Chi-squared test for given probabilities

data:  observed
X-squared = 3.5, df = 2, p-value = 0.1738

유의수준(0.05)보다 p-value가 크므로 귀무가설을 기각하지 않습니다.
관측된 브랜드 선호도는 균등 분포와 통계적으로 유의한 차이가 없습니다.

즉, 세 브랜드는 동일하게 선호된다고 볼 수 있습니다.

독립성 검정(Test of Independence)

독립성 검정은 두 개의 범주형 변수(categorical variables)간에 통계적으로 유의미한 관계가 존재하는지를 검정 하는 방법입니다. 가장 일반적으로는 카이제곱 검정(Chi-squared Test)이 사용되며, 두 변수 간의 독립성(independence) 또는 연관성(association) 여부를 평가합니다.

목적

전제 조건

데이터는 관측 빈도(frequency data)여야 함(연속형 변수는 부적절)
각 셀의 기대도수(Expected frequency)는 일반적으로 5 이상이어야 함 (소표본일 경우 Fisher’s Exact Test 권장)
독립 표본이어야 하며, 각 관측치는 중복되지 않아야 함

검정 통계량

$$ \chi^2 = \sum \frac{(O_ij - E_ij)^2}{E_ij} $$

$O_ij$: 관측도수 (Observed frequency)
$E_ij$: 기대도수 (Expected frequency)

-> 모든 셸에 대해 계산하여 카이제곱 통계량 도출

# 교차표 생성 (지역별 x 브랜드 선호도)
brand_table <- matrix(c(30, 55, 15,
                        40, 60, 20,
                        40, 35, 15),
                      nrow = 3,
                      byrow = TRUE)

# 행과 열 이름 설정
rownames(brand_table) <- c("한국", "미국", "유럽")
colnames(brand_table) <- c("A사", "B사", "C사")

# 교차표 출력
print(brand_table)

# 독립성 검정 수행
result <- chisq.test(brand_table)

# 결과 출력
print(result)

     A사 B사 C사
한국  30  55  15
미국  40  60  20
유럽  40  35  15

	Pearson's Chi-squared test

data:  brand_table
X-squared = 5.8034, df = 4, p-value = 0.2143

카이제곱 통계량 = 5.8034, 자유도(df) = 4, p-value = 0.2143
p-value가 유의수준 0.05보다 크므로 귀무가설을 기각할 수 없음

즉, 현재 데이터에서는 지역과 전자제품 브랜드 선호 사이에 유의한 통계적 연관성이 없다. 따라서, 지역에 따른 브랜드 선호 차이는 우연으로 볼 수 있는 수준이다.

동질성 검정(Test of Homogeneity)

동질성 검정은 두 개 이상의 독립된 집단(independent groups)이 동일한 분포(또는 비율 분포)를 가지는지를 검정하는 방법입니다. 주로 여러 집단 간 범주형 변수의 분포가 동일한지를 평가하며, 카이제곱 검정(Chi-squared Test)을 사용합니다.

독립성 검정과는 유사한 수식을 사용하지만, 샘플링 방식과 해석의 초점이 다릅니다.

목적

전제 조건

각 집단은 서로 독립된 표본이어야 함
데이터는 빈도 데이터(categorical freqeuncy)여야 함
각 셀의 기대도수(Expected frequency)는 5 이상이 권장됨

-> 기대도수가 작으면 Fisher’s Exact Test 또는 p-value 시뮬레이션 고려

검정 통계량

$$ \chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} $$

$O_{ij}$: 관측도수 (Observed frequency)
$E_{ij}$: 기대도수 (Expected frequency)

→ 집단 간 분포 차이가 없다는 귀무가설 하에서, 기대되는 이론값과 관측값의 차이를 기반으로 카이제곱 통계량 도출

# 교차표 생성 (지역별 x 브랜드 선호도)
brand_table <- matrix(c(30, 55, 15,
                        40, 60, 20,
                        40, 35, 15),
                      nrow = 3,
                      byrow = TRUE)

# 행과 열 이름 설정
rownames(brand_table) <- c("한국", "미국", "유럽")
colnames(brand_table) <- c("A사", "B사", "C사")

# 동질성 검정 (카이제곱 검정)
result <- chisq.test(brand_table)

# 결과 출력
print(result)

# 기대도수 확인
result$expected

	Pearson's Chi-squared test

data:  brand_table
X-squared = 5.8034, df = 4, p-value = 0.2143

A matrix: 3 × 3 of type dbl
	A사	B사	C사
한국	35.48387	48.38710	16.12903
미국	42.58065	58.06452	19.35484
유럽	31.93548	43.54839	14.51613

해석

귀무가설(H₀): 세 지역의 브랜드 선호 분포는 동일하다
대립가설(H₁): 지역 간 브랜드 선호 분포는 동일하지 않다
p-value = 0.2143 > 0.05 → 귀무가설 기각 불가

결론: 통계적으로 세 지역은 동일한 선호 분포를 가진다고 볼 수 있습니다.

중심극한정리Central Limit Theorem, CLT)

중심극한정리는 통계학에서 가장 중요한 이론 중 하나로, 표본을 통해 모집단의 특성을 추정할 수 있게 해주는 수학적 기반을 제공합니다. 중심극한정리는 다음과 같은 내용을 포함합니다:

모집단의 분포 형태와 관계없이, 표본의 크기 n이 충분히 크다면, 동일한 크기의 표본을 여러 번 반복 추출해 계산한 표본 평균들의 분포는 정규분포에 근사하게 수렴한다.

이는 모집단이 비정규분포이거나 왜도(skewness)를 갖는 분포라고 해도, 표본평균의 분포는 일정 조건을 만족할 경우 정규분포와 유사한 형태를 나타낸다는 점에서 매우 유용합니다.

표본평균분포란?

여기서 말하는 ‘표본평균분포’는 단일 표본에서 계산된 평균값을 의미하는 것이 아니라, 모집단으로부터 동일한 크기 $n$의 표본을 여러 번 반복 추출했을 때, 각 표본에서 구한 평균값들로 구성된 분포를 말합니다.
주의할 것은 표본의 크기가 아무리 크다 해도 단 하나의 표본집단의 평균이 모집단의 평균과 같아지는 것은 아닙니다. 왜냐하면 표본은 매번 추출할 때마다 달라지고, 표본 평균 역시 일정한 오차를 포함합니다.

결론적으로 중심극한정리는 ‘표본평균의 분포는 정규분포로 수렴한다’는 성질을 통해 모집단이 어떤 분포를 따르든지간에, 충분히 큰 표본을 통해 정규분포 기반의 통계 추론이 간으함을 수학적으로 보장해줍니다.

제2장 통계분석

목차

3. 교차분석(Cross Tabulation Analysis)

사용 목적 및 검정 유형

교차분석표(Crosstab Table)

적합도 검정(Goodness-of-Fit Test)

검정 통계량

해석 방법

독립성 검정(Test of Independence)

목적

전제 조건

검정 통계량

동질성 검정(Test of Homogeneity)

목적

전제 조건

검정 통계량

중심극한정리Central Limit Theorem, CLT)