기초 통계 분석

1. t-검정(t-test)

일 표본 t-검정(one-sample t-test)

일(단일) 표본 t-검정은 하나의 표본이 어떤 기준값(모집단)과 통계쩍으로 유의한 차이가 있는지 평가하는 가설 검정 방법입니다. 이 검정은 모집단의 분산(또는 표준편차)을 알수 없고, 표본 데이터를 통해 모평균을 추청해야 할 때 사용됩니다.

일 표본 단측 t-검정(one-sample one-tailed t-test)

단측 검정은 대립가설이 특정 방향성을 가질 때 사용합니다. 즉, 모평균이 특정 값보다 크다 또는 작다는 방향성이 포함된 경우입니다. 예를들어, 다음과 같은 가설을 수립할 수 있습니다:

귀무가설 $H_0$: 지우개의 평균 중량은 50g 이하이다. $(\mu \leq 50)$
대립가설 $H_1$: 지우개의 평균 중량은 50g을 초과한다. $(\mu > 50)$

이러한 경우, 단측 t-검정을 통해 표본 평균이 50g보다 통계적으로 유의하게 큰지를 평가합니다. 검정 통계량은 다음과 같이 계산됩니다: $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} $$

$\bar{x}$: 표본 평균
$\mu_0$: 비교 대상 모평균 (예: 50g)
$s$: 표본 표준편차
$n$: 표본 크기

# 일 표본 단측 t-검정을 위한 지우개 10개의 표본추출
weights <- runif(10, min = 49, max = 52)
t.test(weights, mu = 50, alternative = 'greater') # 반대 방향은 'less'를 사용

	One Sample t-test

data:  weights
t = 2.5763, df = 9, p-value = 0.01494
alternative hypothesis: true mean is greater than 50
95 percent confidence interval:
 50.17174      Inf
sample estimates:
mean of x 
 50.59536 

t-value(검정 통계량): 표본 평균이 모평균(귀무가설 평균)보다 얼마나 멀리 떨어졌는지(표준 오차 단위로) 표현
df(자유도): 표본크기 10 -> n - 1 = 9
p-value(유의확률): 귀무가설 하에서 이 정도 평균 이상이 나올 확률
significance level(유의수준): 귀무가설을 기각하기 위한 기준값이며, 일반적으로 5%(0.05)로 설정됩니다.
p-value가 유의수준 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각할 수 있는 통계적 근거가 있습니다.

즉, “이번 결과는 통계적으로 유의미하므로, 단순한 변동이나 우연으로 보기 어렵습니다. 따라서 기존 평균과는 통계적으로 의미 있는 차이가 있다고 판단할 수 있습니다.”

일표본 양측 t-검정(one-sample two-tailed t-test)

일표본 양측 t-검정은 단일 표본이 주어진 기준 평균값과 통계적으로 유의한 차이가 있는지(크거나 작음 모두 포함) 를 판단하는 가설 검정 방법입니다. 이 검정은 모집단의 분산을 알 수 없고, 표본 분산으로 추정하며 정규성을 가정하는 상황에서 사용합니다. 즉 표본이 기준 평균값과 같지 않다는 주장을 검정하는 경우 사용하며, 방향성은 따지지 않습니다.

# 일 표본 양측 t-검정을 위한 40kg ~ 100kg 사이 남성 100명의 표본을 추출
weights <- runif(100, min = 40, max = 100)
t.test(weights, mu = 70, alternative = 'two.sided')

	One Sample t-test

data:  weights
t = -0.29899, df = 99, p-value = 0.7656
alternative hypothesis: true mean is not equal to 70
95 percent confidence interval:
 66.12719 72.85852
sample estimates:
mean of x 
 69.49285 

검정 통계량(t-value)은 –0.299, 자유도는 99이며, p-value는 0.766으로 유의수준 0.05보다 훨씬 큽니다.
이는 관측된 표본 평균(69.49)이 귀무가설의 기준값(70)과 통계적으로 유의한 차이가 없음을 나타냅니다.

즉, “이번 결과는 단순한 랜덤 변동 또는 우연으로 발생했을 가능성이 높으며, 귀무가설을 기각할 수 있는 통계적 근거가 부족합니다. 따라서 모집단의 평균은 70과 다르다고 보기 어렵습니다.”

독립 이표본 t-검정(independent sample t-test)

독립 이표본 t-검정은 두 개의 독립적인 표본이 서로 같은 모집단 평균을 가지는지 여부를 통계적으로 평가하는 가설 검정 방법입니다. 이 검정은 두 집단 간의 평균 차이가 우연에 의한 것인지, 아니면 실제로 유의한 차이가 존재하는지를 판단할 때 사용됩니다. 모집단의 분산이 알려져 있지 않으며, 두 표본의 분산을 이용해 검정 통계량을 추정합니다. 이때, 두 모집단의 분산이 동일하다고 가정하는 경우에는 Student의 t-검정(pooled t-test) 을, 분산이 다를 수 있다고 판단되는 경우에는 Welch의 t-검정을 사용합니다. 실무에서는 분산의 동질성을 사전에 확인하기 위해 등분산 검정(F-test 또는 Levene’s test) 을 수행할 수 있으나, 표본 크기나 분산이 다를 가능성을 고려해 기본적으로 Welch의 t-검정을 사용하는 것이 권장됩니다.

단측 vs 양측 이표본 검정

단측 검정(One-Tailed): 두 집단 중 하나가 더 크다/작다는 방향성을 검정
양측 검정(Two-Tailed): 두 집단 간 차이 존재 여부를 검정(방향성 무관)

이 표본 단측 t-검정(independent one-tailed t-test)

예를 들어, A 집단의 평균이 B 집단보다 작은지 검정하고자 한다면 다음과 같은 가설을 수립합니다:

귀무가설 $H_0$: A 집단의 평균은 B 집단보다 같거나 크다. $(\mu_1 \geq \mu_2)$
대립가설 $H_1$: A 집단의 평균이 B 집단보다 작다. $(\mu_1 < \mu_2)$

등분산을 가정하는 경우 (pooled t-test), 검정 통계량은 다음과 같이 계산됩니다:

$$ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $$ $$ s_p = \sqrt{ \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} } $$

$\bar{x}_1$, $\bar{x}_2$: 두 집단의 표본 평균
$s_1$, $s_2$: 두 집단의 표본 표준편차
$n_1$, $n_2$: 표본 크기
$s_p$: 공통 표준편차 (pooled standard deviation)

※ 분산이 같다고 가정할 수 없다면 Welch의 t-검정을 사용해야 합니다.

# 이 표본 단측 t-검정을 위해 각 집단별로 100개씩 표본추출
salaryA <- runif(100, min = 250, max = 390)
salaryB <- runif(100, min = 280, max = 400)
t.test(salaryA, salaryB, alternative = 'less')

	Welch Two Sample t-test

data:  salaryA and salaryB
t = -3.5351, df = 192.27, p-value = 0.0002553
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -9.802698
sample estimates:
mean of x mean of y 
 320.0464  338.4566 

검정 통계량(t-value)은 -3.535, 자유도는 192.27, p-value는 0.00026으로 유의수준 0.05보다 현저히 작습니다.
이는 관측된 두 집단 간 평균 차이가 단순한 우연으로 발생했을 가능성이 매우 낮으며, A 집단의 평균이 B 집단보다 통계적으로 유의하게 작다는 사실을 지지합니다.

즉, “이번 결과는 귀무가설을 강하게 기각할 수 있는 통계적 근거를 제공하며, A 집단의 평균이 B 집단보다 유의하게 낮은 수준임을 시사합니다. 이러한 차이는 우연에 의한 결과라 보기 어렵고, 실질적인 모집단 간 차이가 존재한다고 판단할 수 있습니다.”

독립 이표본 양측 t-검정(Independent Two-Sample Two-Tailed t-Test)

예를 들어, K 집단의 평균 달리기 속도가 L 집단과 다른지 검정하고자 할 경우 다음과 같이 가설을 수립합니다:

귀무가설 $H_0$: 두 집단의 평균은 같다. $(\mu_1 = \mu_2)$
대립가설 $H_1$: 두 집단의 평균은 다르다. $(\mu_1 \neq \mu_2)$

# 이 표본 양측 t-검정을 위해 각 집단별로 100개씩 표본추출
speedK <- runif(100, min = 30, max = 40)
speedL <- runif(100, min = 25, max = 35)
t.test(speedK, speedL, alternative = 'two.sided')

	Welch Two Sample t-test

data:  speedK and speedL
t = 12.032, df = 198, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 4.054320 5.643768
sample estimates:
mean of x mean of y 
 34.93825  30.08921 

검정 통계량(t-value)은 12.032, 자유도(df)는 198, p-value는 < 2.2e-16으로 유의수준 0.05보다 압도적으로 작습니다.
이는 두 집단의 평균 속도 차이가 우연히 발생했을 가능성이 거의 없으며, 통계적으로 매우 유의한 차이가 존재함을 나타냅니다.

이번 검정 결과는 귀무가설(두 집단의 평균 속도가 동일하다는 가정)을 강하게 기각할 수 있는 통계적 근거를 제공합니다. K 집단은 L집단 보다 평균적으로 유의하게 빠른 속도를 보였으며, 이러한 차이는 우연이 아닌 실질ㅈ거인 모집단 차이로 해석할 수 있습니다.

대응 표본 t-검정(Paired t-test)

대응 표본 t-검정은 동일한 개체나 유사한 쌍(pair)에 대해 두 시점 또는 두 조건에서 측정된 값을 비교하여, 평균 차이가 통계적으로 유의한지 검정하는 방법입니다. 이 검정은 두 데이터가 쌍을 이루며 종속된 구조를 가질 때 사용됩니다.

보통 다음과 같은 경우에 적용됩니다:

한 집단의 처치 전 vs 후 효과 비교 (예: 약 복용 전후 혈압)
동일 대상의 시간에 따른 변화 측정 (예: 정책 시행 전후 가격 변화)
짝지어진 두 조건 간의 비교 (예: 좌·우 눈의 시력 등)

대응 표본 단측 t-검정

새로운 운동법이 체중 감량에 효과가 있는지를 검증하기 위해, 운동 전과 운동 후의 체중을 비교하고자 할 때 대응 표본 단측 t-검정을 수행할 수 있습니다. 이때 운동 후 체중이 운동 전보다 유의하게 감소했는지를 확인하려는 목적이라면, 다음과 같이 가설을 설정합니다:

귀무가설 $H_0$: 운동 후 체중은 운동 전보다 같거나 더 무겁다. $(\mu_d \leq 0)$
대립가설 $H_1$: 운동 후 제충은 유의하게 감소했다. $(\mu_d > 0)$
→ 여기서 $\mu_d = \mu_{\text{before}} - \mu_{\text{after}}$

# 단측 대응 표본 t-검정을 위한 표본추출
before <- runif(10, min = 60, max = 80)
after <- before + rnorm(10, mean = -3, sd = 2)
t.test(before, after, alternative = 'greater', paired = TRUE)

	Paired t-test

data:  before and after
t = 4.1742, df = 9, p-value = 0.001198
alternative hypothesis: true mean difference is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.77135     Inf
sample estimates:
mean difference 
       3.158321 

검정 통계량(t-value)은 4.174, 자유도(df)는 9, p-value는 0.0012로 유의수준 0.05보다 현저히 작습니다.
평균 차이는 3.16으로 운동 전보다 후에 평균적으로 약 3.16kg 감소, 신뢰구간 95%에 차이는 최소 1.77이상 감소했을 가능성이 높습니다.
이는 두 시점 간 평균 차이가 우연히 발생했을 가능성이 매우 낮으며, 통계적으로 유의한 감소 효과가 존재함을 의미합니다.

이번 분석 결과 운동 전후 체중 차이가 단순한 우연이 아닌 통계적으로 유의한 변화임을 보여줍니다. 귀무가설(운동 전후 체중에 차이가 없다)을 기각할 수 있는 충분한 통계적 근거가 있으며, 운동 후 체중은 유의하게 감소한 것으로 판단됩니다. 이는 운동 프로그램이 체중 감량에 실질적인 효과가 있었음을 시사합니다.